Permutationsrechner

Permutationsrechner auf einen Blick#

Ein Permutationsrechner ermittelt, wie viele geordnete Anordnungen entstehen, wenn Sie r Elemente aus einer Menge von n auswählen, geschrieben als nPr. Die Formel lautet nPr = n! / (n - r)!, wobei n! die Fakultät von n ist. Die Reihenfolge zählt, daher sind AB und BA zwei verschiedene Permutationen.

Ein Beispiel: 5P2 wählt 2 von 5 Elementen in fester Reihenfolge: 5P2 = 5! / 3! = 120 / 6 = 20. Es gibt 20 Möglichkeiten, 2 der 5 Elemente geordnet anzuordnen.

Von Hand rechnen Sie so: Nehmen Sie die Fakultät von n, teilen Sie durch die Fakultät von (n - r), und das Ergebnis ist die Anzahl der geordneten Auswahlen. Permutationen unterscheiden sich von Kombinationen: Kombinationen ignorieren die Reihenfolge und nutzen nCr = n! / (r!(n - r)!), sodass 5C2 = 10, also die Hälfte von 5P2, weil jedes ungeordnete Paar 2 Anordnungen hat.

Geben Sie Ihr n und r oben in den Rechner ein, um die genaue Anzahl der Permutationen zu erhalten. Bei sehr großen Werten wächst das Ergebnis schnell, da Fakultäten rasch ansteigen.

Fakultäten, der Baustein#

Die Fakultät, die man als n! schreibt, ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis hin zu n. Beispiel: 3! entspricht 3 mal 2 mal 1, was 6 ergibt, und für 5! kommt man auf 120. Fakultäten zeigen die vollständigen Anordnungen einer Menge auf: Für die Buchstaben A, B und C gibt es genau 6 verschiedene Anordnungen (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), was genau 3! entspricht. Bei der Anordnung von n Elementen haben wir einen Spezialfall von nPr, bei dem r gleich n ist, also gilt nPn = n!. Interessanterweise ist per Definition auch 0! = 1.

Permutationen einer Teilmenge#

Wenn es darum geht, nur einige der Elemente zu ordnen, verwenden Sie nPr = n! / (n - r)!. Möchten Sie 3 Elemente aus einer Gruppe von 6 auswählen und anordnen, erhalten Sie 6P3 = 6! / 3! = 720 / 6 = 120. Das geht auch einfacher, indem man die r absteigenden Faktoren beginnend bei n nimmt und multipliziert: 6P3 = 6 mal 5 mal 4 = 120. Beide Methoden geben Ihnen immer das gleiche Resultat.

Permutationen und Kombinationen im Vergleich#

Permutationen werden eingesetzt, wenn die Reihenfolge wichtig ist, bei Kombinationen hingegen nicht. Ein dreistelliger Code, bei dem 1-2-3 nicht dasselbe ist wie 3-2-1, ist eine Permutation. Wählen Sie 3 Pizzabeläge, wobei die Reihenfolge der Auswahl egal ist, handelt es sich um eine Kombination. Kombinationen verwenden die Formel nCr = n! / (r! (n - r)!), und das Ergebnis ist immer kleiner: Bei 5C2 erhalten Sie 10, während 5P2 20 ergibt, da jedes Paar von 2 Elementen 2! = 2 unterschiedliche Anordnungen hat.

Wenn sich Elemente wiederholen#

Die nPr-Formel geht davon aus, dass die Elemente unterschiedlich und ohne Wiederholung ausgewählt werden. Es gibt jedoch zwei zusätzliche Szenarien: Wenn jede Position jedes Element erneut verwenden kann (z. B. bei einer PIN, bei der sich Ziffern wiederholen dürfen), berechnen Sie die Anzahl mit n hoch r: Eine 4-stellige PIN aus 10 Ziffern ergibt 10 hoch 4 = 10.000. Wenn die Gruppe selbst identische Elemente enthält, teilen Sie n! durch die Fakultät jeder wiederholten Gruppe: Bei den Buchstaben in LEVEL sind es 5! / (2! mal 2!) = 30, da zwei L und zwei E vorkommen.

Häufige Fragen#

Was ist eine Permutation?#

Eine Permutation ist eine geordnete Anordnung von Elementen, bei der die Reihenfolge ausschlaggebend ist: ABC und CAB bestehen zwar aus denselben Buchstaben, zählen aber als zwei unterschiedliche Permutationen.

Wie berechnet man die Anzahl der Permutationen?#

Verwenden Sie nPr = n! / (n - r)!, wobei n die Gesamtheit der Elemente darstellt und r angibt, wie viele Sie ordnen möchten. Nehmen Sie als Beispiel 5P2 = 5! / 3! = 120 / 6 = 20.

Was ist der Unterschied zwischen einer Permutation und einer Kombination?#

Permutationen zählen geordnete Anordnungen, während Kombinationen ungeordnete Auswahlen darstellen. Für dasselbe n und r ist nPr immer r! mal größer als nCr, denn jede Kombination kann auf r! unterschiedliche Weisen angeordnet werden.

Kann die Formel wiederholte Elemente verarbeiten?#

Das geht nicht direkt. Die Formel nPr gilt nur für unterschiedliche, einmal verwendete Elemente. Wenn Positionen Elemente mehrmals nutzen dürfen, nutzen Sie n hoch r. Enthält Ihre Gruppe identische Elemente, teilen Sie n! durch die Fakultät jeder wiederholten Gruppe.

Wie funktioniert der Permutationsrechner?#

Sie geben n (Gesamtzahl der Elemente) und r (anzulegende Elemente) ein. Der Rechner nutzt die Formel nPr = n! / (n - r)! und liefert die exakte Anzahl. Da Fakultäten schnell wachsen, führen große Eingaben zu enormen Ergebnissen.